Композитор родился 28 июля 1933 года в Ленинграде. В январе 1942 года во время блокады города его эвакуировали в Омскую область, а в начале 1944 года Александр Наумович вернулся в Ленинград. Творческую деятельность он начал с 1950-х годов, с 1958 года начал работать как профессиональный композитор.
Сначала Колкер писал музыку для эстрадных артистов. Многие композиции исполняла его супруга певица Мария Пахоменко. Слушателям запомнились такие созданные их творческим союзом песни «Стоят девчонки», «Если это любовь», «Красивые слова», «Мне выпало счастье», «Моя Россия», «Печальная» и другие. Также песни на музыку Колкера исполняли Иосиф Кобзон, Муслим Магомаев, Эдуард Хиль, Лидия Клемент, Людмила Сенчина, Михаил Боярский и другие известные артисты.
Также композитор писал музыку для петербургских театров. Среди них Ленинградский государственный театр им. Ленинского комсомола (сейчас Театр-фестиваль «Балтийский дом»), Ленинградский драматический театр им. В. Ф. Комиссаржевской, Театр им. Ленсовета и другие. Самыми значительными работами Колкера для театра стали один из первых советских мюзиклов «Свадьба Кречинского», музыкальная драма «Дело» и опера-фарс «Смерть Тарелкина».
Также Колкер писал музыку для художественных фильмов. Среди самых известных картин — «Хроника пикирующего бомбардировщика»(1967), «Труффальдино из Бергамо» (1976), «Трое в лодке, не считая собаки» (1979), «Никто не заменит тебя» (1982).
Александр Наумович имеет звание заслуженного деятеля искусств РСФСР. Он является лауреатом премии Ленинского комсомола 1968 года. Также был отмечен премией «Музыкальное сердце театра». Является почетным гражданином Республики Карелия.
Напомним, что композитора в начале июня обнаружили в собственной квартире с состоянии обезвоживания. В течение двух месяцев он проходил лечение, но медики не смогли окончательно восстановить его здоровье.
